L’optimisation est une discipline qui traite de la recherche d’un maximum ou d’un minimum d’une fonction donnée soumise à des contraintes. Un problème d’optimisation ainsi définit a pour objectif de représenter un problème réel : l’optimisation est un outil d’aide à la décision.
Par exemple, la fonction peut représenter un coût que l’on veut réduire tandis que les contraintes représentent les limites que l’on doit respecter pour rester proche de la réalité.
Tout problème d’optimisation définit les choses suivantes :
Domaine de faisabilité : ensemble des points, $\Omega$, qui respectent les contraintes
Soit $\Omega \subseteq \mathbb{R}^p$ tel que $min_{x \in \Omega} \, J:\Omega \mapsto \mathcal{R}$. On appelle domaine de J l’ensemble
$$ dom(J) = \{x \in \Omega \vert J(x) < + \infty \} $$
Une fonction J est dite impropre si son domaine est vide.
$$ \left\{ \begin{array}{ll} \min_{x \in \Omega} J(x) & J : \mathcal{R}^p \mapsto \mathcal{R} \\ H(x) = 0 & H : \mathcal{R}^p \mapsto \mathcal{R}^n \\ G(x) \le 0 & G : \mathcal{R}^p \mapsto \mathcal{R}^m \end{array} \right. $$
Les contraintes d’égalité peuvent être réécrites en contraintes d’inégalités
$$ H(x) = 0 \Leftrightarrow H(x) \le 0 \, et \, H(x) \ge 0 $$
Les contraintes d’inégalité peuvent être réécrites en contraintes d’égalités grâce à des variables d’écart $e \ge 0 \, , e\in \mathcal{R}^m$
$$ G(x) \le 0 \Leftrightarrow G(x)+e=0 $$